РЕШУ ЦТ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 115 Добавить в вариант

Геометрическая прогрессия со знаменателем 5 содержит 10 членов. Сумма всех членов прогрессии равна 24. Найдите сумму всех членов прогрессии с четными номерами.

Спрятать решение

Решение.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $S_n = дробь: числитель: b_1 левая круглая скобка q в степени n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: q минус 1 конец дроби .$ Выразим первый член: $b_1 = дробь: числитель: S_10 левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: q в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 1 конец дроби .$ Вспомним, что $b_n = b_1 q в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

Сумма чётных членов прогрессии равна

$b_2 плюс b_4 плюс b_6 плюс b_8 плюс b_10 = b_1 q плюс b_1 q в кубе плюс b_1 q в степени 5 плюс b_1 q в степени 7 плюс b_1 q в степени 9 = b_1 левая круглая скобка q плюс q в кубе плюс q в степени 5 плюс q в степени 7 плюс q в степени 9 правая круглая скобка .$ $b_2 плюс b_4 плюс b_6 плюс b_8 плюс b_10 = b_1 q плюс b_1 q в кубе плюс b_1 q в степени 5 плюс b_1 q в степени 7 плюс b_1 q в степени 9 =$
$= b_1 левая круглая скобка q плюс q в кубе плюс q в степени 5 плюс q в степени 7 плюс q в степени 9 правая круглая скобка .$ $b_2 плюс b_4 плюс b_6 плюс b_8 плюс b_10 =$
$= b_1 q плюс b_1 q в кубе плюс b_1 q в степени 5 плюс b_1 q в степени 7 плюс b_1 q в степени 9 =$
$= b_1 левая круглая скобка q плюс q в кубе плюс q в степени 5 плюс q в степени 7 плюс q в степени 9 правая круглая скобка .$

Составим новую геометрическую прогрессию с первым членом $B_1 = b_1 q$ и знаменателем $Q = q в квадрате .$ Тогда

$q плюс q в кубе плюс q в степени 5 плюс q в степени 7 плюс q в степени 9 = дробь: числитель: q левая круглая скобка q в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: q в квадрате минус 1 конец дроби .$

Найдем сумму членов с четными номерами согласно формуле:

$S_чет = b_1 умножить на дробь: числитель: q левая круглая скобка q в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: q в квадрате минус 1 конец дроби = дробь: числитель: S_10 левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: q в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: q левая круглая скобка q в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: q в квадрате минус 1 конец дроби = дробь: числитель: S_10 q, знаменатель: q плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 24 умножить на 5, знаменатель: 5 плюс 1 конец дроби = 20.$

Ответ: 20.

Аналоги к заданию № 115: 565 595 625 ...565 595 625 655 Все

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Классификатор алгебры: 9\.7\. Задачи на прогрессии

Спрятать решение · Помощь